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Phy4  Conséquence de l’invariance de la Vitesse c.(4)

Rappel :

Je poursuis mes commentaires qui accompagnent la série des vidéos sur Einstein pour préciser le comment et pourquoi de manière aussi simple que possible sans trop de maths.

Je vais le faire par la voie utilisée par Einstein d’une expérience de pensée irréalisable en soi mais pleine de conséquences. Cette expérience est simple tout comme les solutions géométriques utilisées. Mais les résultats obtenus sont déroutants et difficiles à concevoir. De ce fait c’est en soi une expérience intellectuelle difficile sur un exemple simple qui vaut le coup. Ce fut et c’est encore une révolution qu’il faut appréhender. 

Galilée au XVII^ème siècle énonçait un principe de relativité que tout le monde peut appréhender dans la vie courante. La vitesse est relative: si l’on est assis dans un train en mouvement par rapport au sol, nous sommes immobiles (vitesse nulle ) par rapport au train et en mouvement (à la vitesse du train) par rapport au sol. Notre vitesse n’a rien d’absolu, elle dépend du repère que l’on choisit : le repère du train ou celui du sol. Si l’on avance dans le train, notre vitesse par rapport au sol s’obtient en ajoutant notre vitesse par rapport au train à celle du train par rapport au sol. Cette loi d’additivité des vitesses avait été vérifiée expérimentalement par Galilée dans le cas du mouvement d’objets matériels pour tous les repères dit galiléens..

Le son comme la lumière est aussi une onde mais qui se déplace à 330 m/sec. soit 10⁶=1.000.000  un million de fois moins vite que la lumière qui se déplace à c = 300.000 km/sec. C’est pour cela que l’on voit l’éclair bien avant que le bruit du tonnerre nous parvienne, presque instantanément. C’est l’air qui transporte les sons par une onde de pressions et de dépressions. Dans le vide pas de bruit. Par contre la lumière se propage dans le vide et sa vitesse  c  y est maximale. 

Maxwell en 1873 décrit les ondes électromagnétiques. Les équations différentielles de Maxwell décrivent la propagation des ondes électromagnétiques qui s’effectue à la vitesse c  (e.m.c²=1) qui est celle de la lumière. Cette vitesse qui est une constante universelle a toujours la même valeur dans tous les repères galiléens égale à  c = 300.000 km/sec quelques soient leurs déplacement relatifs ce qui s’oppose à la relativité galiléenne.

Comme on l’a vu avec « la Vitesse de la lumière » Michelson et Morley ont montré en 1887 que la vitesse de la lumière n’était pas relative. Ils ont monté des expériences qui devaient permettre de mesurer le vent d'Ether (s’il existait). Le résultat a été négatif .

Le calcul du déplacement attendu des franges dans l'hypothèse de l'addition galiléenne des vitesses ne pouvait s’appliquer à la lumière. C'est dans l'histoire de la physique une des plus importantes et une des plus célèbres expériences qui n'a pas donné ce que l'on cherchait, elle valut à Michelson le prix Nobel de Physique en 1907.

Vitesse Invariante de la Lumière :

L’invariance de la vitesse, constatée à la fin du XIX^ème siècle, resta inconciliable avec le principe de relativité de Galilée jusqu’en 1905.

Einstein en 1905 réussit à étendre le principe de relativité des vitesses à la lumière et à l’électromagnétisme.

Puisque la lumière a une vitesse toujours constante elle peut servir à mesurer facilement des longueurs  l par leur temps  t de parcours à cette vitesse c  soit   l = c.t 

Montrons sur un exemple quelles sont les conséquences de cette invariance. Imaginons une expérience de pensée 

Un wagon gris A’B’ de milieu O’ est notre référentiel mobile galiléen (R’) animé d’un mouvement de translation rectiligne uniforme à la vitesse  v  par rapport aux rails d'un autre référentiel fixe le sol et le point O dans (R).  Le wagon (R’) avance uniformément sur des rails (R ).  Aux extrémités A’ et B’ et au milieu de ce wagon sont placés des expérimentateurs. Ceux en A’ et  B’ sont munis  de Flashs. Au sol en un point O du référentiel (R) se trouve un observateur fixe. Lorsque les points O et O’ coïncident, les deux observateurs en O et O’ qui sont au même niveau voient que les expérimentateurs ont allumé leur flashs en même temps sur leurs capteurs.

Demandons nous, en adoptant le point de vue de chaque observateur, qui de l’expérimentateur placé en A’ ou de celui en B’ a allumé son flash  le premier ?

Dans chacun des référentiels, la vitesse de propagation de la lumière est la même c invariante.
Pour l’observateur du wagon placé en O’ milieu de A’B’, la réponse est claire, les expérimentateurs en A’ et B’ ont allumé leurs flash en même temps.

Pour l’observateur fixe placé au sol en O, compte tenu des temps de déplacement du wagon à la vitesse  v  vers la droite, A’ était, à l’origine du flash était évidemment plus éloigné de O que B’ au moment du flash. Et, A’ doit donc doit compenser cet éloignement plus grand et allumer son flash en avance sur B’. Etant situé plus loin il doit flasher plus tôt pour que son flash arrive en même temps que celui de B'. 

Cette évidence à pour conséquence :

Les deux évènements (produire des flashs ) simultanés dans le Wagon (R’) ne le sont pas au sol dans (R).

On ne peut pas attribuer dans tous les référentiels galiléens les mêmes dates aux mêmes évènements si la vitesse de la lumière est une constante.

On doit associer nécessairement la position d’un point  A  (x, y, z) à un instant donné ( t )  dans l’espace-temps considéré.

Cet événement A ( x, y, z, t ) est à quatre dimensions et c’est l’apport d’Einstein.

L’exemple ci-dessus montre la nécessité d’abandon de l’hypothèse de temps absolu (et n’exige pas d’effort de compréhension particulier !). Certains trouveront ce raisonnement simple, presque évident et pourtant pas assez convainquant, sans doute à cause de ce qu’il induit mais aussi et surtout de …. Mais il ne suffit pas de montrer, ou de démontrer, il faut surtout convaincre et on peut parler de révolution dans le monde des idées directrices de la Physique. Ce qui a mis du temps à se réaliser et chez les scientifiques et encore plus chez les autres. Ce n’est pas encore une réalité pour la majorité des gens un siècle plus tard.

La Dilatation du temps :

Avant de mieux établir les équations de la transformation des coordonnées entre deux repères galiléens de manière à retrouver les résultats de la mécanique relativiste on peut calculer directement et de manière simple la valeur des temps séparant deux événements simultanés ayant lieux dans deux repères galiléens (R) et (R') différents comme ci dessous.

On dispose aux origines O  et O’ de ces repères des horloges synchrones et synchronisées lorsque au démarrage des temps t=t’=0 où O  et O’ sont confondus.

Ces horloges peuvent être une même vibration lumineuse à la même fréquence.

Imaginons une deuxième expérience de pensée même si elle n’est pas réalisable. A l’origine les deux repères  (R)  O X, Y, Z   et  (R’)  O’ X’,Y’,Z’ sont confondus en O  et,  O’  glisse sur  OX  à vitesse constante v  vers la droite comme sur la figure ci dessous. Plus tard à l’instant  t  le point  O’ est à la distance  OO’ = v.t   de O.  Ce sont deux repères galiléens auxquels sont associées deux horloges identiques constituées de sources de lumières identiques dont l’une est dans le repère fixe  (R)  en O  orange et l’autre dans le repère mobile  (R’)  en O’ jaune. Ces deux horloges sont des sources de lumière identiques de même pulsation  w qui sont synchronisées lorsque les repères coïncident à l’instant initial  t =  t’ = 0 .      Là ça se complique !

On a disposé dans le repère fixe parallèle à  X  au fond perpendiculaire à  Z en A’  le long de  A’A’’  un miroir fixe permettant  aux lumières orange provenant de  O  de se réfléchir en A' vers  B  et en jaune provenant de O’ de se réfléchir aussi en A' vers O’.  Ces deux horloges permettent de calculer les temps de parcours et donc les longueurs  dans  (R)  et  (R’) puisque la vitesse de la lumière est la même  c  .  lorsque O’ est en  B  on peut y calculer le temps  t  dans R  et  t’  dans  R’ correspondant à la concordance  en B des signaux électriques provenant des sources  O et  O’.

Quand O’ se déplace jusqu’en B on y récupère les deux signaux émis des deux horloges en O de R et en O’ de R'.

Le premier trajet Orange est beaucoup plus grand que le second en jaune. La longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle OO’A’  de la figure est  ct , celle de la hauteur est  ct '  et celle de la base est  vt . On a donc théorème de Pythagore : 

                       OA’² =  OO’² +  O’A’²   

ces longueurs se mesurent en temps de propagation pour donner:

        c²t² = v².t²+c²t’² ->  t’ = ( 1-v²/c²)^1/².t  -> t’ < t 

v<c  ->  v/c<1  -> v²/c²<1 -> (1 - v²/c²)<1  ->  (1 - v²/c²)^1/²<1 

                                             t =  g.t’

La mesure   Dt’ du temps  dans  R’  faite par un observateur dans  R  en comparant Dt à Dt’  (variations de t où t₂-t₁)  dans R’ . On obtient  pour résultat              g > 1     voir le tableau plus loin 

L’observateur dans le repère fixe O  fixe voit  le temps  t  plus grand que  t’  de  l’horloge O’ mobile. Il y a donc une dilatation du temps. Le temps dans le repère mobile ralentit et compte plus lentement, dans le cas de la figure presque au ¾ moins vite, car sur ce graphe la distance O’A’ est le ¾ de  OA’ ce qui correspond à   v ~ ¾.c  ce qui est très proche de la vitesse de la lumière.

On a résolu ce problème géométriquement.

Il y a dilatation du temps dans le repère fixe.

 Au début de la relativité, ce phénomène a donné lieu à un certain nombre d’objections tel que le paradoxe des jumeaux pas toujours accepté. Dans ce cas le jumeau en translation dans un véhicule à une vitesse proche de celle de la lumière vieillit moins vite que son frère au repos et dans le cas de v ~ ¾ .c  le vieillissement est 0,66 fois moins vite. (Voir plus loin le tableau)

Aujourd’hui, la situation est très différente puisque, grâce à l’étude de la désintégration de muons qui sont des particules produites naturellement dans la haute atmosphère. Cet effet est mesuré couramment dans les accélérateurs de particules : le muon est une particule instable, ce qui signifie qu’elle se détruit peu de temps après avoir été crée, et se désintègre en particules plus légères. On a effectivement mesuré qu’un muon qui se déplace à une vitesse proche de celle de la lumière vit plus longtemps qu’un muon qui se déplace moins vite. C’est une conséquence directe de la dilatation du temps, plus importante à grande vitesse. Par contre, du point de vue du muon lui-même, c’est à dire dans le référentiel dans lequel le muon est au repos, il vit toujours le même temps, car vu de son propre point de vu, le muon étant au repos, v = 0 exactement, sa durée de vie n'est pas modifiée.

La célérité de la lumière étant de 300 000 km/s, un avion volant à 0,3 km/s (soit 1000 km/h) a une vitesse égale au millionième de celle de la lumière de sorte que l’erreur commise en utilisant l’approximation galiléenne est inférieure à  (v²/c²) = 10^-12  le millionième de millionième, tout à fait négligeable. Cependant pour des mesures très précises de temps de trajets utilisées dans les expériences spatiales mais aussi par le GPS , il faut impérativement tenir compte des corrections relativistes (à la fois celles de la relativité restreinte et de la relativité générale d’ailleurs).

Invariance de l’Intervalle d’espace-temps :

Le temps n’est plus un absolu.  Il en est de même des longueurs. Le temps et les longueurs ne sont plus invariants.  Mais par contre la vitesse de la lumière et ce qu’on appelle  l’intervalle d’espace-temps sont invariant dans des espaces dit galiléens. C’est là la révolution.

 Dans le référentiel (R)  OA, au temps t, par le trajet orange la lumière atteint le point de coordonnées A( x, y, z, t ) à l’instant  t 

de (R) .                  

Ce même événement se traduit, dans le référentiel (R’) O’A, par le trajet en jaune où la lumière atteint les coordonnées A( x’, y’ ,z’, t’ ) dans (R’) à l’instant  t’ car les distances ne sont pas les mêmes que dans  R. Ce trajet est plus petit que le précédant.
Dans chacun des référentiels, l’onde se propage à la même vitesse  c  et nous pouvons écrire grâce au théorème de Pythagore que le carré de la longueur de chacun des vecteurs qui dans ce cas et la somme des carrés de ses coordonnées (par Pythagore) de  r  et  de r’ se mesure en temps par la longueur des trajets  ct   et  c’t’  ce qui nous donne :

                  x² + y² + z² = c²t²     x’² +y’² +z’² = c²t’²

Si le temps se dilate en passant du repère fixe à celui mobile la quantité  c²t²  augmente et il en sera  de même pour la longueur et donc son carré  x² + y² + z²  augmente d’autant pour  rester égale à  c²t².

Il en résulte que ce qu’on appelle l’intervalle d’espace-temps  s  entre deux événements considérés reste constant (et même nul) d’un repère à l’autre.

         s   =   x² + y² + z² - c²t²   =   x’² +y’² +z’² - c²t’²   = 0
 

La Contraction des Longueurs :

Il y a contraction des longueurs dans le sens du mouvement et conservation des longueurs dans des directions perpendiculaires au mouvement.

Les coordonnées  y  et  z  ne changent pas pour la translation dans la direction  X  envisagée plus haut. Et donc il n’y a aucune variation des dimensions correspondantes,  seule la dimension dans la direction de la translation sera affecté  et donc  

x²  -  c²t²  = 0   sera conservé. (Dx est la variation de x soit x₂- x₁) 

                x - c.t  = 0  ->  x  =  c.t  ->   Dx’  =  g.Dx  

Et, donc c’est la même relation  que pour t.

Dans les même conditions que pour le temps on aurait le même effet de dilatation.

Mais en général on énonce un effet de contraction  parce qu’on considère un observateur situé dans le repère mobile (R’)  qui constate que le mètre situé dans le repère fixe  ( R)  lui paraît plus petit.  Dans son repère mobile il voit la lumière se déplacer à la vitesse  c = 300.000 Km/s. Et, s’il fait la mesure du déplacement  dans le repère fixe  il voit une distance contractée de  g  qu’il mesure avec un temps contracté d’autant  g . Il mesure donc la même vitesse  c  dans les deux repères car le rapport distance sur temps ne change pas.

La mesure   Dx de la règle dans  R  faite par un observateur dans  R’  en comparant à D x’  Dx/D x’   dans R’  donne un résultat plus petit que  1

L’observateur de  R’ en mouvement, qui est en mouvement par rapport à un objet au sol verra la taille de cet objet se contracter dans le sens de son mouvement de déplacement. Les directions perpendiculaires ne seront pas affectées. Supposons que l’objet soit une règle d’un mètre de longueur disposé sur l’axe,  X  si mesuré dans le référentiel R. Maintenant supposons que l’observateur dans le référentiel R’, en mouvement par rapport à R, mesure cette règle au passage. Il trouvera une taille en fait inférieure à un mètre, et égale à :    l  =   (1/g). l’

Le facteur  g = 1/(1-v²/c²)^1/2  se retrouve partout en relativité restreinte. Il caractérise la « déviation »  ou l’écart de la mécanique relativiste par rapport à la théorie newtonienne. On l’appelle le facteur Gamma. Quand Gamma est très proche de 1, on retrouve la mécanique Newtonienne classique, par contre, plus  v  est grand, plus  g  est grand (divergeant jusqu’à l’infini), et dans ce cas, la mécanique Newtonienne n’est plus adaptée pour décrire le mouvement des corps.  

      b = n/c  << 1 ->  1            g = 1/(1-v²/c²)^1/2  > 1  -> oo

Voici un tableau en fonction de la vitesse v ou du facteur  b  donnant le facteur  g  la contraction des longueurs  l  et la dilatation du temps  t’  qui en découlent : 

On voit dans ce tableau que l’effet du déplacement reste faible, et bien souvent négligeable, jusqu’à  v/c = 0,1   au dixième de la vitesse de la lumière  30.000 Km/s.

L’effet de la vitesse v  n’est plus négligeable pour  v/c = 0,5  soit la moitié de la vitesse de la lumière.

Conséquences :

Ces résultats révolutionnent notre perception du monde et en modifient la Physique classique galiléenne du fait de l’invariance de la vitesse de la Lumière qui est  une constante universelle  c = 299 792 458 m/s.   ~   300.000 Km/s.

Le temps comme les longueurs sont des grandeurs variables dans des repères en translation. C’est un effet de la vitesse du déplacement des objets qui est généralement négligeable mais qui se manifeste par une contraction dans le sens du mouvement des objets d’autant plus qu’on se rapproche de la vitesse de la lumière.

Aucun objet ne peut atteindre ou dépasser la vitesse de la lumière  c  qui est une limite absolue où la matière aurait tendance à disparaître sous forme d’énergie.

Seule la lumière, un quanta d’énergie sans masse, se déplace à la vitesse  c . C’est un constituant originel fondamental de notre univers.

Dans sa Relativité Générale, Einstein eut le génie de comprendre que l'évolution à réaliser était d'ordre géométrique: non seulement les phénomènes sont relatifs à l'Espace-temps, mais ils sont de l’Espace-temps. Une particule de matière n'est autre que de l'espace-temps fortement recourbé. Par la suite, Einstein formule une loi générale qui gouverne la distribution géométrique de l'espace-temps en décrivant les interactions gravitationnelles comme celles produites autour de la matière par une courbure de l'espace-temps.