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Phy5  Mathématiques et Physique Classique. (5)

      C’est plus pour la culture que pour comprendre quoi que ce soit.

Je rédige cette partie d’abord pour expliquer que la Physique a eu besoin d’un langage et d’un outil mathématique suffisamment développé pour pouvoir s’exprimer et devenir une science. Ce sont les développement de l’algèbre qui ont permis ceux de la Physique qu’ils précèdent.  La Physique a exploité très rapidement les avancées de la géométrie et de l’algèbre qui étaient au début très imbriquées et nécessaires à la compréhension du monde et à son développement.

La structure du monde et celle des nombres sont étroitement liées.

Mais, il y a aussi dans l’aventure humaine des sciences, une créativité fantastique qui met en avant le rôle de l’homme et de ses possibilités d’abstraction et d’imagination liées à sa liberté et ses innovations intellectuelles. Avec Einstein et ses articles en 1905 à 26 ans, Abel qui meurt à 26 ans en 1829 et Galois qui meurt à 20 ans en 1832 apparaissent des sortes de comètes, qui ne doivent pas nous faire oublier tout le travail et l’apport de tous les autres, mais qui pointent sur des pépites à l’état brut de ce qui caractérise l’épopée humaniste.

La Physique classique s’est développée depuis l’antiquité dans un environnement technique loin des possibilités extrêmes actuelles de mise en évidence des déviations et des distorsions. Disons qu’on s’est retrouvé dans des conditions de petites variations de la plupart des paramètres normaux utilisés, ce qui se traduit généralement par de petits effets proportionnels aux actions. Le poids, les dimensions, le déplacement, les vitesses, la température etc….variant peu sous l’effet de petites actions voient ces valeurs modifiées proportionnellement aux quantités et au temps des interventions.

L’arithmétique à été le premier outil nécessaire au développement des mesures, d’abord par les entiers qui permettent le dénombrement, puis par les fractionnaires pour les proportions enfin par les nombres réels et irrationnels par leur structure.

Je montre à ma manière comment s’est effectuée cette progression en soulignant les étapes importantes de la nécessaire mise en place de la théorie des ensemble.

Dés l’antiquité avec l'École ionienne la logique et le raisonnement ont permis de démontrer pour les premières fois un certain nombres de résultats.

Pythagore (6è siècle avant J.-C) est un philosophe, mathématicien et scientifique qui serait né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une île de la mer Égée au Sud-est de la ville d'Athènes ; on établit sa mort vers 497 av. J.-C., à l'âge de 83 ans.

Le théorème de Pythagore permet de calculer l’hypoténuse et même d’introduire et de démontrer l’existence de nombres irrationnels par exemple pour la racine carrée de 2. (p est aussi un tel nombre pour le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre).

Théorème de Pythagore          

On a quatre triangles en bleu composés d’un grand coté A de 4 carreaux et d’un petit B de 3 carreaux qui ont une aire de AxB = 4x3/2 = 12/2 = 6 . L’hypoténuse de ce triangle est C de ?   Le grand carré externe a pour coté (A+B) de 7 carreaux et donc une aire de (A+B)²  = 49.  Il contient le carré multicolore pivoté de coté C dont l’aire est C² inconnue et les quatre coins blancs d’aire  2AxB = 2x6 = 12.  On obtient ainsi un semblant de démonstration.

      (A+B)² = C² + 2AxB => A² + B² +2AxB = C² +2AxB => A² + B² = C²

Les Nombres irrationnels                   

 est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle construit dans un demi-carré dont les cotés sont égaux à 1. Ce nombre est irrationnel. Il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction p/q.  On démontre cela par l’absurde. En effet supposons que ce soit possible de trouver une fraction de deux nombres entiers p et q alors on peut écrire  sous forme d’une fraction irréductible  = p/q  de deux nombres entiers  p  et  q  premiers entre eux qui n’ont aucun diviseur commun (cette fraction est supposée irréductible).

Si c’est le cas  on élève cette fraction au carré et on obtient :

       = p/q       =>       2 = p²/q²     =>      p² = 2.q²  donc 2 divise  p.p  et  donc p

=>    p =  2.x       =>   4.x² = 2.q²      =>      q² = 2.x²  donc 2 divise  q.q  et  donc q

et     q =  2.y      

p et q  sont tous deux divisibles par 2 ce qui ne peut être car ceci est contraire à l’hypothèse initiale que p et q sont premiers entre eux et donc n’ont aucun diviseur commun. On ne peut donc pas supposer et écrire     sous la forme p/q.

La valeur de  est sans fin sans cela cette valeur pourait s’écrire sous forme d’un rapport de cette valeur sans virgule divisée par 10000…    1 avec autant de zéros qui suivent qu’il y a de chiffes après cette virgule.

 =1,4142135623730950488016887242097…      s’écrit avec une infinité, sans fin, de chiffres et est donc impossible à transcrire.

La duplication du volume du cube est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Ce problème consiste à construire un cube, dont le volume serait deux fois plus grand qu'un cube donné. Cela revient donc à construire l'arête du cube qui est multipliée par   et qui élevé au cube donne 2 fois plus grand.

Le problème a son origine dans une légende rapportée par Ératosthène dans Le Platonicien et par Théon de Smyrne^[] dans son Arithmétique. Les Déliens, victime d'une épidémie de peste, demandèrent à l'oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l'oracle fut qu'il fallait doubler l'autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.

La question intéressa nombre de mathématiciens et ne sera résolu qu’en 1837 comme pour les solutions des équations du cinquième degré et plus. Ceci démontre que la motivation première est déjà là à l’époque grecque.

Thalès de Milet  (6è siècle avant J.-C) appelé communément Thalès était un philosophe présocratique. Il fut l'un des Sept sages de la Grèce et le fondateur présumé de l'école milésienne avec Anaximandre et Anaximène.. qui devaient développer la géométrie Euclidienne.

  Théorème de Thalès       =>       AB/AC  =  AD/AE

Éléments d'Euclide d'Alexandrie (3è siècle avant J.-C) Les Éléments sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitive. 

Mais l’ensemble des nombres manque encore de cohérence car il lui manque le 0, donc une numération pratique, et des opérateurs, addition et multiplication, efficaces et simples.

Diophante d'Alexandrie (III^e siècle) fut le premier à pratiquer l'algèbre en introduisant le concept d'inconnue en tant que nombre, et à ce titre peut être considéré comme "le père" de l'algèbre. Ce dernier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme.

C'est un des premiers mots du titre en arabe d'un ouvrage du mathématicien d'origine persane Al-Khawarizmi qui reprend, dans la première partie du IX^e siècle, les travaux de Diophante d'Alexandrie. Algèbre vient de l'arabe al-jabr (ÇáÌÈÑ) , qui est devenu algebra en latin et qui signifie « la réunion » (des morceaux), « la reconstruction » ou « la connexion ». Le système décimal avec les chiffres arabes dont le zéro s’imposeront alors.

Une large proportion des méthodes utilisées en algèbre sont issues de résultats élémentaires de géométrie. Pour cette raison, on classe souvent ces premiers résultats dans la branche de l'algèbre géométrique.

Jusqu'au XVII^e siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début de l’étude des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques des variations et de la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. C'est à François Viète (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues à l'aide de lettres.

Au XVII^e siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « imaginaires », tels que l'une des racines carrées de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) :

Sous sa forme moderne, ce théorème s'énonce : Le corps  des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication est algébriquement clos. (complet et cohérant)

Comme pour Nils Henrik Abel (1802 1829)  c’est en étudiant le problème de l'équation algébrique (car on ne sait toujours pas résoudre les équations de degré supérieur à 4 sauf cas particuliers) que Évariste Galois (1811 1832)  met en évidence les premiers éléments de la théorie qui porte maintenant son nom INTRODUCTION`A LA THÉORIE DE GALOIS par Yves Laszlo. Ses écrits sont perdus ou tombent dans l'oubli. Les papiers d'Évariste Galois, rassemblés par Chevalier et son jeune frère Alfred furent soumis à Joseph Liouville qui recommanda à l'Académie des sciences son principal résultat de la théorie des équations algébriques obtenu en septembre 1843^[]. Liouville fit ensuite publier les travaux de Galois en 1846 dans son journal, le Journal de mathématiques pures et appliquées, ce qui leur conféra aussitôt un rayonnement international^[].

Les espaces de Hilbert (1862–1943)  permettent un développement axiomatique cohérant de la mécanique actuelle basée sur une algèbre matricielle dans un espace multidimensionnel pour l’étude des transformations linéaires.

                             Sciences.ch (algèbre linéaire)

Définition: Une "transformation linéaire" ou "application linéaire" A est une application d'un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F ...

Ce lien donne un aperçu de ces notions très complexes qu’on peut survoler pour en avoir une idée. On en a vu précédemment une application d’un espace vectoriel pour étudier la transformation du temps comme conséquence de la constance de la vitesse de la lumière  c   avec le changement de repère ci dessous.

Einstein publie la théorie de la relativité restreinte en 1905, et une théorie de la gravitation dite relativité générale en 1915. Les Principes de la mécanique quantique  publié en anglais par Dirac en 1930  utilise l'algèbre des opérateurs linéaires comme une généralisation des théories d'Heisenberg et de Schrödinger. Il introduit ainsi la notation bra-ket, pour laquelle   est un vecteur d'état dans l'espace des états du système, et    un vecteur de l'espace dual correspondant.

Le concept de Groupe (mathématiques) est né de l'étude des équations polynomiales par Évariste Galois dans les années 1830. La terminologie de « groupe » est mise en évidence pour la première fois par Évariste Galois qu'il rédigea la nuit précédant son duel : on peut « grouper » les automorphismes du corps de décomposition d'un polynôme séparable. Après des apports dans d'autres domaines comme la théorie des nombres : Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss et de nouvelles géométries, la notion de groupe a été généralisée et fermement établie Felix Klein vers 1870.

Théorie de Galois - Wikipédia

En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance

Au début du XIX^e siècle, des formules exactes avaient été déterminées pour exprimer les solutions d'une équation polynomiale du second degré   aX² − bX − a   ->   X = (-b +-D^1/2) /2.a  , du troisième ou quatrième degré en fonction des coefficients a b c.... Se posait la question de recherche des formules générales pour des équations polynomiales de degré supérieur. Joseph-Louis Lagrange avait reformulé la question comme la résolution d'une équation polynomiale par radicaux. Cette suggestion était basée sur le calcul du nombre d'expressions polynomiales à n variables obtenues par permutation des variables. En 1813, Augustin Louis Cauchy s'était déjà intéressé à cette question et étudia les permutations alors appelées substitutions, travaux précurseurs de la théorie des groupes.

Le Théorème d'Abel (algèbre) - Wikipédia (1825) montre rigoureusement qu’il n'existe pas de formule générale exprimant les solutions de l'équation du cinquième degré sous forme de radicaux.

 Évariste Galois est l'auteur d'une forme générale du théorème. Sa méthode est celle aujourd’hui utilisée pour démontrer le théorème en faisant appel aux propriétés de Groupe de l’ensemble étudié.

Il démontra que les racines d'un polynôme scindé P  s'expriment rationnellement en fonction des coefficients et d'un nombre algébrique V obtenu en sommant convenablement les racinesdes polynomes. Le polynôme minimal de V est par définition le polynôme unitaire de plus petit degré annulant V et dont les coefficients sont des expressions rationnelles des coefficients de P. Ses racines, nécessairement distinctes, permettent de déterminer un groupe G de permutations des racines de P. La valeur d'une fonction polynomiale évaluée à partir des des racines de P s'exprime rationnellement en fonction des coefficients de P si et seulement si cette valeur reste inchangée en faisant agir une permutation de G. En particulier, si le groupe est trivial, les racines s'expriment rationnellement en fonction des coefficients de P.
Évariste Galois en déduit que la recherche d'une résolution par radicaux passe par la réduction du groupe associé par adjonctions successives de racines. Cette idée directrice est appliquée dans ce premier théorème aux polynômes irréductibles du premier degré.

On s’y perd si on ne connaît pas la théorie de Goupe , mais :

C’est le début d’un traitement par la théorie des Groupes, qui reste à développer.

Ce qui est important dans cette démonstration c’est de montrer à partir de propriétés de Groupe de ces équations et par permutations des valeurs de ce Groupe que l’on peut ou pas exprimer les valeurs des racines à l’aide de radicaux sans pour autant faire le calcul de la racine elle même. (Cette racine reste toujours calculable simplement par des méthodes numériques).

C’est justement ce qui permettra au début du siècle suivant de développer la méquanique quantique qui de part sa complexité nécessitera un outil qui intègrera tous les résultats traités par la théorie des ensembles.

Conclusion :

La Physique doit attendre la fin du XIX^e siècle pour disposer d’un langage et de structures suffisamment complets pour pouvoir décrire et comprendre l’espace qui nous entoure. C’est l’aboutissement du développement des mathématiques depuis l’espace Euclidien repris par l’espace Galiléen pour se concrétiser par l’espace Vectoriel. Ce sont les ensembles de nombres et les notions de groupe et de corps qui permettent de définir les espaces Vectoriels qui permettent de construire la Physique moderne du XX^e siècle.