Phy6        Abel et Galois   (6)

Ceci m’interpelle a plus d’un titre :

D’abord je les associe à Einstein, ce sont des jeunes, très jeunes, qui ont tout au plus 25 ans, loin des centres de la connaissance et hors des centres de formation qui se sont fait un nom, pas tout de suite, mais qui restera peut être tout autant que Socrate.

Ce sont des jeunes, qui au point de vue de leur réflexion sont des précurseurs. En quelque sorte des prophètes qui savent trouver le vrai dans un environnement plus que conservateur quand il s’agit d’enseigner et de transmettre des connaissances.

C’est pour cela que je parle aussi de Socrate car s’il est là pour l’éternité c’est surement pour sa mort. c’est l’aboutissement de sa vie et pour son enseignement qu’il à été accusé à 71 ans, en 399 av. J-C, de : « corrompre les jeunes gens » et d’être un danger pour l’ordre social. Socrate se vit alors condamné à boire un poison mortel, la ciguë. Ayant eu, avant son emprisonnement, l’occasion de s’enfuir, il refusa de le faire au motif que le respect des lois de la cité était plus important que sa propre personne. Son dernier jour est raconté dans le Phédon : il s’agit d’un dialogue sur l’immortalité de l’âme, dont la morale est que le sage doit espérer en un séjour divin après la mort. La mort de Socrate (1787) de David est l’acte politique éternel, celui de l’humanité.

Ensuite, que ce soit Einstein ou les autres, ce sont de purs adolescents qui se forment et se définissent par eux même. Ils quittent s’il le faut les chemins battus avec la conscience de l’importance de ce qu’ils font, pour atteindre les plus hauts sommets de l’humanité. Ils possèdent ces qualités qui font de l’homme la conscience du monde.

Enfin ils démontrent qu’entre 15 et 18 ans l’homme est au sommet de ses possibilités et que c’est là un trésor qu’il faut savoir non seulement préserver mais encourager et non pas réprimer.

Abel et Galois sont deux jeunes hommes du début du XIX^e siècle romantique qui démontrent, comme un siècle plus tard Einstein, que la valeur n’attend pas le nombre des années, que l’éducation et l’enseignement n’ont rien à voir avec le génie. Mais l’environnement, la raison et la flamme interne de l’adolescence et de la recherche du pourquoi sont essentiels.

Il ne s’agit pas d’oublier les travaux et les apports de chacun et de tous dans l’évolution de la connaissance mais ils nous montrent plus précisément ce qui est plus spécifique de ce phénomène. Ils sont tellement atypiques, hors norme de l’apprentissage, de la compréhension  et surtout de la perception et du développement de nouveaux concepts.

Il faut être jeune et surtout libre pour pouvoir voir et pour pouvoir concevoir du neuf  et du vrai souvent contre tous et l’évidence. L’évolution est un processus lent et laborieux d’ouverture vers le réel.

Enfin, il faut lire la lettre de Galois la veille de son duel.

                          Niels Henrik Abel

Niels Abel (5 août 1802 - 5 avril 1829)  

  La vie de Niels Abel, mathématicien norvégien né le 5 août 1802, est marquée par la pauvreté. Son père, Sören Georg Abel, éduqua lui-même ses deux fils aînés jusqu'en 1815, Son père a été pourtant un éminent homme politique norvégien, mais à la fin de sa vie il est tombé en disgrâce, et quand il meurt en 1820, c'est Abel qui doit supporter la charge de la famille.

Grâce à l'aide financière de ses professeurs, il parvient cependant à poursuivre ses études et à faire ses premières découvertes. Mais ses mémoires sont perdus par Cauchy et mésestimés par Gauss.

  Après son doctorat, Abel ne parvient pas à trouver un poste, ses conditions de vie sont de plus en plus précaires et sa santé se fait fragile : il est atteint de la tuberculose. Malgré des déplacements à Paris et à Berlin, ses travaux ne sont toujours pas perçus à leur juste valeur. Dans ses dernières semaines, il n'a plus assez de force pour quitter son lit. Il décède le 5 avril 1829, à 26 ans, alors qu'un ami venait juste de lui trouver un poste à Berlin.

  C'est Jacobi qui comprendra tout le génie de ce jeune mathématicien. Abel avait notamment démontré, à l'âge de 19 ans, l'impossibilité de résoudre par radicaux les équation algébriques de degré 5, ce que son contemporain Galois généralisera à tout n>4. A titre posthume, Abel recevra en 1830 le grand prix de Mathématiques de l'Institut de France.

Après les travaux d'Abel, seuls trois éléments manquent pour une expression finale du théorème fondamental de l’algèbre : une approche effective, la condition nécessaire et suffisante de résolubilité de l'équation et une compréhension profonde des mécanismes qui rendent possible la résolubilité. C'est Évariste Galois qui réalise ces trois progrès.

                                Evariste Galois

Evariste Galois ( 25 octobre 1811 - 31 mai 1832 )

La plus célèbre, fascinante et commentée des vies de mathématiciens. Elle est même devenue mythique, au point qu'il est parfois difficile de démêler le mythe et la réalité.

 Une enfance déjà mouvementée

Evariste Galois est né à Bourg-la-Reine le 25 octobre 1811, d'un père maire libéral de la commune. Sa mère, Adélaïde Marie Demante, fille de magistrat, s'occupe de son éducation jusqu'à 12 ans, et le nourrit de culture latine. Il entre à 12 ans au lycée Louis-le-Grand, où il suit une scolarité d'abord honorable, avant de marquer assez vite des signes de lassitude. Dès 1827-1828, la fureur des mathématiques le domine. Galois lit Legendre (Eléments de géométrie), Lagrange (textes sur la résolution des équations), Euler, Gauss, Jacobi. Il obtient le 1er prix au Concours Général de mathématiques, mais échoue à l'entrée à Polytechnique.
Il entre en octobre 1828 en spéciales à Louis-le-Grand. Le professeur, Mr Richard, admire le génie mathématique de son élève et garde les copies qu'il confiera à un autre de ses élèves : Charles Hermite. C'est l'époque où il publie son premier article dans les Annales mathématiques de Joseph Gergonne (il démontre un théorème sur les fractions continues périodiques). Il rédige aussi un premier mémoire sur la théorie des équations, envoyé à l'Académie des Sciences, il sera "perdu" par Cauchy.

Les premières épreuves
Les épreuves et les drames commencent alors. Le 2 juillet 1829, son père se suicide à la suite d'une cabale montée contre lui par le curé de Bourg-la-Reine. Quelques jours plus tard, il échoue au concours d'entrée à Polytechnique, à la stupéfaction de Mr Richard. On raconte qu'il a jeté le chiffon à effacer la craie à la tête de son examinateur devant la stupidité des questions posées.
Sur les conseils de son professeur, Galois entre à l'École Préparatoire, future École Normale. Il rédige le résultat de ses recherches dans un mémoire - Conditions pour qu'une équation soit résoluble par radicaux - afin de concourir au grand prix de mathématiques de l'Académie des Sciences. Fourier emporte le manuscrit chez lui et meurt peu après : le manuscrit est perdu, et le grand prix est décerné à Abel (mort l'année précédente), et à Jacobi.

Les événements politiques
A partir de 1830, les vies mathématiques et politiques de Galois vont s'entrecroiser. En 1824, Charles X a succédé à Louis XVIII. Le ministre Villèle accumule les mesures impopulaires, parmi lesquels le projet de loi sur la presse et la dissolution de la garde nationale, créée en 1789, et coupable d'avoir manifestée contre le gouvernement. Sous le ministère de Polignac (1829-1830), Charles X signe 4 ordonnances (suppression de la liberté de la presse, dissolution de la chambre, modification de la loi électorale, fixation de la date de nouvelles élections) qui violent la charte et provoquent immédiatement 3 journées de Révolution (les 3 glorieuses) les 27,28 et 29 juillet. Galois est consigné dans son école, et il ne peut participer à l'action contrairement aux polytechniciens, qui ont fait le mur et resteront dans l'histoire. A la suite de ces événements, le duc d'Orléans, habilement poussé en avant par ses partisans, devient roi sous le nom de Louis-Philippe. Si celui-ci prête serment à la Charte, il reste pour les républicains un usurpateur, dont l'élection est entachée d'illégalités. Devant l'évolution conservatrice de son gouvernement, ils multiplient contre lui les sociétés secrètes.

Le renvoi de l'École Préparatoire
Galois, républicain actif et intrépide, adhère à l'une d'entre elles, la société des amis du peuple présidée par Raspail, le 10 novembre 1830. Une violente polémique nait alors entre Galois et le directeur de L'École Préparatoire. Opportuniste, ce dernier met ses élèves à la disposition du gouvernement de Louis Philippe, et en profite pour durcir la discipline de l'École. Galois est excédé et va faire publier deux longues lettres dans la Gazette des écoles. Dans la première, datée du 5 décembre 1830, il tourne son directeur en dérision. Dans la seconde, datée du 2 janvier 1831, titrée sur l'Enseignement des Sciences, il dénonce la médiocrité de l'enseignement aux étudiants. Par une décision exceptionnelle, Galois est renvoyé début janvier. Sans ressources, Galois ouvre le 13 janvier un cours d'algèbre supérieure chez le libraire Caillot, au 5 rue de la Sorbonne. Sous les conseils de Denis Poisson, il présente le 17 janvier à l'Académie des Sciences une nouvelle version de son mémoire perdu. Ce sont Poisson et Lacroix qui sont chargés de l'étudier, mais quand ils rendent leur rapport, le 4 juillet, c'est un avis négatif qu'ils transmettent, jugeant le mémoire incompréhensible.

La prison et la fin...
Pendant ce temps, les tensions politiques ne se sont pas apaisées. Louis-Philippe parvient à réformer la Garde Nationale, qu'il met désormais à son service. Le 9 mai 1831, lors d'un banquet au restaurant Les Vendanges de Bourgogne, Galois porte un toast "A Louis-Philippe", un couteau à la main, ce qui provoque un tollé général dans la salle (Galois précisera que le texte complet est "A Louis-Philippe, s'il trahit", et que seuls ses voisins ont vu le couteau et entendu la deuxième partie de son propos). Arrêté le lendemain, détenu à Sainte-Pélagie, il est jugé et acquitté le 15 juin. Ce n'est que partie remise, car le 14 juillet, à la tête d'un groupe de manifestants, il est arrêté pour port illégal de l'uniforme de la Garde Nationale, et condamné le 23 octobre à 6 mois de prison, car récidiviste.
En prison, il continuera ses travaux. Libéré en 1832, il s'éprend en mai 1832 d'une femme, Stéphanie D. (Dumotel?), avec qui il rompt le 14 mai. On ne sait trop pourquoi, mais un duel semble en résulter quelques jours plus tard ("Je meurs pour une infâme coquette"). La nuit précédente, le 29 mai, Galois rassemble ses dernières découvertes dans une splendide lettre adressée à son ami Auguste Chevalier :
"Mon cher Ami, j'ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles. Les unes concernent la théorie des Équations, les autres les fonctions Intégrales. Dans la théorie des équations, j'ai recherché lesquelles étaient résolubles par radicaux....".
De cette lettre naquit la légende selon laquelle Galois fit ses découvertes majeures en une seule nuit, pris par la fièvre de la mort. La matinée du 30 mai, Galois, abandonné, grièvement blessé, est relevé par un paysan et conduit à l'Hôpital Cochin. Il meurt de péritonite le 31 mai 1832 dans les bras de son jeune frère Alfred. Il est enterré dans la fosse commune du cimetière de Montparnasse. Ses amis républicains préparent un soulèvement à l'occasion de ses obsèques. Reporté au 5 juin, il conduira au massacre du cloître de Saint-Méry.

Les travaux de Galois
Les travaux de Galois sont redécouverts une dizaine d'années plus tard par Liouville, qui le 4 septembre 1843 annonce à l'Académie des Sciences qu'il vient de trouver dans les papiers de Galois une solution aussi exacte que profonde au problème de la résolubilité par radicaux. Ce n'est qu'en octobre 1846 qu'il publie les textes sans y joindre de commentaires. A partir de 1850, les écrits de Galois sont enfin accessibles par les meilleurs mathématiciens, et les travaux de Kronecker, Dedekind, Cayley conduisent à l'Algèbre Moderne.
En langage moderne, Galois a établi une correspondance entre deux objets mathématiques distincts. Si P est un polynôme, le corps de décomposition de ce polynôme est le corps engendré par l'ensemble des racines de ce polynôme (par exemple, si P=X²+1, considéré sur Q, ce corps est Q[i]). La correspondance de Galois est une application entre corps intermédiaires et sous-groupes. Les corps intermédiaires sont ceux compris entre le corps de base et le corps de décomposition du polynôme considéré ; et les sous-groupes, ceux du groupe de Galois du polynôme, qui est lui-même un sous-groupe du groupe des permutations sur n éléments (n étant le nombre de racines). Une condition sur le groupe de Galois du polynôme (être "résoluble") donne une condition sur la résolubilité "par radicaux" de l'équation induite par ce polynôme.

Conclusions :

Pour que le destin nous mène là où nous sommes, il nous faut :

1. la matière, c’est la première révolution, le bing bang.

2. Il faut la vie, c’est l’adaptation, c’est une contreréaction.

3. La logique, la raison , c’est une conscience, c’est la troisième révolution.

Exemple d’utilisation de la notion de Groupe:

      Notes de lecture : Groupes et ethnologie Paul Jolissaint

                                  La Théorie des Ensemble  ?

http://www.dailymotion.com/video/x8zze9_la-theorie-des-ensembles_shortfilms

Un peu avant les années 1950, l'ethnologue Claude Lévy-Strauss étudiait le concept de famille dans diverses civilisations et notamment, aidé du mathématicien André Weil, il dégagea le concept de structure élémentaire de parenté, basé sur la notion de groupe. C. Lévy-Strauss étudiait en particulier une société primitive australienne, la société Karieka. Elle est formée de quatre clans : les Banaka, les Karimera, les Burung et les Palyeri. Après avoir exposé ses travaux à A. Weil, celui-ci découvrit que la théorie des groupes décrit parfaitement les m urs des Karieka. Afin de faciliter la manipulation de ces divers clans, nous allons les représenter par des lettres: A désignera les Banaka, B les Karimera, C les Burung et D les Palyeri. De plus, nous noterons  S = {A,B,C,D} l'ensemble des clans chez les Karieka.

Voici maintenant les deux ensembles de règles d'appartenance aux clans que l'ethnologue a décrites dans son ouvrage Les structures élémentaires de la parenté (1947) :

Règles des mariages :             A épouse C     B épouse D

Règles d'appartenance de la descendance :

homme A et femme C àenfant D

homme C et femme A àenfant B

homme B et femme D àenfant C

homme D et femme B àenfant A

Soit alors  f  ''la fonction conjugale'' ; d'après les règles de mariage, c'est la permutation de S donnée par :

On constate aisément que f est d'ordre 2 :    f  o  f  = Ids.
Pour décrire la filiation, on définit deux fonctions sur S; la première   m : S à S    associe au clan maternel  X  le clan   m{X}  de son enfant. Les règles sont résumées par : 

De même, la seconde   p : S à S    associe au clan paternel  Y  le clan  p{Y}  de son enfant. D'après les règles, 

En fait, on a    m o f  =  p    : en effet, considérons un homme du clan X; son épouse appartient au clan  f{X}  ; par suite, le clan de leurs enfants est   m(f(X))   mais aussi   p(X) . D'ou l'égalité annoncée.
On vérifie également que     f o m  =  p   : en effet, 

Enfin,    p o p  =  m o m  =  Ids.
Soit alors   G  =  {Ids,f,m,p}   , qui est un sous-groupe des permutations de S, et soit

Z₂ x Z₂   =  { 0,0) , (1,0) , (0,1) , (1,1) }  le groupe de Klein. Si  F :  G à Z₂ x Z₂   envoie 

Ids  sur  {(0,0),  f  sur  (1,0),   m sur  (0,1),  et   p sur  (1,1), on vérifie que  F  est un isomorphisme. Ainsi, les règles d'appartenance clanique chez les Karieka possèdent une structure de groupe (en fait, de groupe abélien)!

Conséquences :
(1) Le fait que    m(m(X))  =  X  =  p(p(X))   pour tout   X   implique que tout enfant appartient au clan de sa grand'mère maternelle, mais également au clan de son grand'père paternel.
(2) On interprète les égalités    f o m  =  m o m  =  p    ainsi : la fille d'un homme peut épouser le fils de la s ur de l'homme. En effet, soit  X  le clan d'un homme (et de sa s ur). Alors 

Y   =  p(X)   est le clan de la fille de l'homme et  m(X)   est le clan du fils de la sur.

Comme   f(m(X))  =  p(X)   , on a   Y  =  f(m(X))   , ce qui signifie que la fille de l'homme et le fils de sa s ur appartiennent à des clans dont les membres peuvent se marier.

Autre Exemple :

http://wapedia.mobi/fr/Groupe_altern%C3%A9

Wiki: Groupe alterné (1/2)

 Comment permuter les cases 14 et 15 au jeu de Taquin ? Il y a eu une grosse prime pour ce jeu jusqu'en 1870.

Le Modèle des Quarks   http://www.newphysics.fr/

Preuve supplémentaire de la réalité de l’électron tricolore, il a son modèle mathématique dans le Groupe de permutations G3.

Le Groupe mathématique G3 est l’ensemble des 6 permutations de 3 objets, symbolisés par les lettre a,b,c dans le discours mathématique et, en physique, par les 3 charges de couleur, rouge, vert, bleu de la chromodynamique quantique.

L’interprète géométrique du groupe G3 est le triangle équilatéral dont les 6 permutations sont présentées dans le tableau ci-dessous.

Remarque :

Le Groupe est un concept qui préexiste non seulement dans la matière et la physique mais aussi plus généralement dans la nature et la logique. Ce n’est pas seulement une création de l’esprit, c’est un outil et en tant que tel un objet universel.

Évariste Galois - Wikipédia

Dans sa dernière lettre, Galois mentionna : « Gardez mon souvenir, puisque le sort ... Voir par exemple l'article rédigé par Auguste Chevalier

Je me rappelle avoir enseigné en 5 ème au lycée d’Uzes un nouveau programme de mathématiques sur les notions de la théorie des ensembles qui introduisait les Groupes par leur définitions avec les applications, les relations, les opérations et leurs propriétés. C’était il y a bien longtemps et il semble bien que cela se soit perdu quelque part.

Ce n’était que bon sens, au bon moment et une nécessité qui s’imposait.

La lettre, ci dessous, montre bien le traitement sous forme d’Ensemble et de Groupe qu’effectuait Galois pour traiter ses équations algébrique ce qui est complètement nouveau et pas bien compris à son époque.

La fin de cette lettre vaut sa lecture et nous transmet une vive émotion.

Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier

Lettre d'Evariste Galois `a Auguste Chevalier Retranscrite et mise ...

Format de fichier: PDF/Adobe Acrobat - Lettre de Galois `a A. Chevalier.

(Ecrite juste avant son duel. Insérée en 1832 dans la Revue encyclopédique, numéro de septembre, page 568. Publiée en 1846 dans le Journal de Math. Pures et Appliquées, Tome XI, page 408.)

(Le manuscrit de Galois est à la Bibliothèque Nationale, ref. . . . )

                        Mon cher ami,

J’ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles.

Les unes concernent la théorie des équations; les autres, les fonctions intégrales.

Dans la théorie des équations, j’ai recherché dans quels cas les ´équations étaient résolubles par des radicaux, ce qui m’a donné l’occasion d’approfondir cette théorie, et de décrire toutes les transformations possibles sur une équation, lors même qu’elle n’est pas soluble par radicaux.

On pourra faire avec tout cela trois Mémoires.

Le premier est écrit, et, malgré ce qu’en a dit Poisson, je le maintiens, avec les corrections que j’y ai faites.

Le second contient des applications assez curieuses de la théorie des équations. Voici le résumé des choses les plus importantes:

1. D’après les propositions II et III du premier Mémoire, on voit une grande différence entre adjoindre à une équation une des racines d’une équation auxiliaire ou les adjoindre toutes. Dans les deux cas, le Groupe de l’équation se partage par l’adjonction en Groupe tels, que l’on passe de l’un à l’autre par une même substitution; mais la condition que ces Groupes aient les mêmes substitutions n’a lieu certainement que dans le second cas. Cela s’appelle la décomposition propre.

En d’autres termes, quand un groupe G en contient un autre H, le groupe G peut se partager en Groupes, que l’on obtient chacun en opérant sur les permutations de H une même substitution; en sorte que    

G = H + HS + H’S + ....

Et aussi il peut se décomposer en Groupes qui ont tous les mêmes substitutions, en sorte que

G = H + TH + T’H + ....

Ces deux genres de décomposition ne coïncident pas ordinairement. Quand ils coïncident, la décomposition est dite propre.

Il est aisé de voir que, quand le groupe d’une équation n’est susceptible d’aucune décomposition propre, on aura beau transformer cette équation, les groupes des équations transformées auront toujours le même nombre de permutations.

Au contraire, quand le groupe d’une équation est susceptible d’une décomposition propre, en sorte qu’il se partage en m groupes de n permutations, on pourra résoudre l’équation donnée au moyen de deux équations : l’une aura un groupe de m permutations, l’autre un de n permutations.

Lors donc qu’on aura épuisé sur le groupe d’une équation tout ce qu’il y a de décompositions propres possibles sur ce Groupe, on arrivera `a des Groupes qu’on pourra transformer, mais dont les permutations seront toujours en même nombre.

Si ces groupes ont chacun un nombre premier de permutations, l’équation sera soluble par radicaux, sinon, non.

Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable, quand ce nombre n’est pas premier, est 5.4.3.

2. Les décompositions les plus simples sont celles qui ont lieu par la méthode de M. Gauss.

Comme ces décompositions sont évidentes, même dans la forme actuelle du groupe de l’équation, il est inutile de s’arrêter longtemps sur cet objet.

Quelles décompositions sont praticables sur une équation qui ne se simplifie pas la méthode de M. Gauss ?

J’ai appelé primitives les équations qui ne peuvent se simplifier par la méthode de M. Gauss, non que ces équations soient réellement indécomposables, puisqu’elles peuvent même se résoudre par radicaux.

Comme lemme à la théorie des équations primitives solubles par radicaux, j’ai mis en juin 1830, dans le Bulletin de Férussac, une analyse sur les imaginaires de la théorie des nombres.

On trouvera ci-jointe la démonstration des théorèmes suivants:

1. Pour qu’une équation primitive soit soluble par radicaux, elle doit être du degré p, p étant premier.

2. Toutes les permutations d’une pareille équation sont de la forme

xk,l,m,··· | xak+bl+cm+...+h, a!k+b!l+c!m+...+h!, a!!k+..., ...,

k, l, m,... étant ( indices, qui, prenant chacun p valeurs, indiquent toutes les racines. Les indices sont pris suivant le module p; c’est-à-dire que la racine sera la même quand on ajoutera à l’un des indices un multiple de p. Le groupe qu’on obtient en opérant toutes les substitutions de cette forme linéaire contient, en tout,

pv (pv − 1)(pv − p)...(pv − pv−1) permutations.

Il s’en faut que dans cette généralité les équations qui lui répondent soient solubles par radicaux.

La condition que j’ai indiquée dans le Bulletin de Ferussac pour que l’équation soit soluble par radicaux est trop restreinte; il y a peu d’exceptions mais il y en a.

La dernière application de la théorie des équations est relative aux équations modulaires des fonctions elliptiques.  ……………………

                                   ……………………

                                   ……………………

Tu feras imprimer cette Lettre dans la Revue Encyclopédique.

Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer des propositions dont je n’étais pas sûr; mais tout ce que j’ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de ne pas me tromper pour qu’on me soupçonne d’avoir énoncé des théorèmes dont je n’aurais pas la démonstration complète.

Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité mais sur l’importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j’espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

Je t’embrasse avec effusion.

E. Galois.

le 29 Mai 1832.

Jacobi, Gauss, Cauchy ou Poisson n’ont pas tout de suite compris l’importance de la théorie des Groupes qui ne se développera que dans la deuxième partie du siècle.

Théorème d'Abel (algèbre)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Abel_%28alg%C3%A8bre%29