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      Phy 7     Introduction à Relativité  (7)

Remarques :

Je poursuis mes commentaires qui accompagnent la série des vidéos sur Einstein pour préciser le comment et pourquoi. Ca devient fondamental et scientifique.  Ca sera peut être trop complexe, mais pourquoi pas le lire.

Maintenant qu’on a compris que la mécanique classique doit être modifiée pour tenir compte de la constance de la célérité  c  de la lumière quelque soient les repères galiléens dans lesquels on se place, il nous faut trouver l’expression algébrique de la transformation de repère linéaire des coordonnées, comme l’a fait Einstein, qui conserve cette invariance.

Un formalisme abstrait est utilisé pour en simplifier l’expression. Ce n’est qu’une manière d’écrire des équations très complexes, et je l’introduit à titre de simplification et pour montrer quels sont les outils mathématiques utilisés aujourd’hui.

J’effectue aussi les calculs algébriques un peu longs mais simples qui conduisent aux résultats de façon à convaincre s’il le faut.

Ces relations sont ce qui unira la gravitation et l’électricité dans la mécanique nouvelle.

Je fais donc un rappel des équations générales de la gravitation et de l’électricité qui doivent être invariantes dans des référentiels galiléens pour y entrainer des effets identiques.

On construit alors un ensemble cohérent de lois Physiques à partir de postulats qui s’appuient sur la théorie des Groupes qui eux conservent leurs propriétés dans des transformations linéaires. C’est une extension dans la 4 ème dimension avec un formalisme nouveau qui permettra aussi le développement fructueux de la mécanique au XX ème siècle.

On peut survoler tout cela rapidement pour se faire une idée et en faisant confiance aux scientifiques pour le reste. 

Mais, avant, nous reviendrons  sur la relativité du temps  t  qui est la nouvelle variable du référentiel à considérer dès lors que la lumière se propage toujours à la même vitesse c constante quelque soit le référentiel galiléen utilisé.

C’est cette relativité du temps qui entraine le chamboulement de nos connaissances.

Référentiel galiléen :

Expression générale des Forces :

Le meilleur exemple de référentiel galiléen est peut être un wagon de chemin de fer se déplaçant à grande vitesse disons v= 200 km/h sur une portion toute droite. Dans ce wagon on ne peut pas se rendre compte de cette vitesse qu’elle soit grande ou nulle ni surtout quelle est sa direction si ce n’est que l’on ressent des secousses dans tous les sens. On pourrait se trouver au repos sur le sol terrestre et y appliquer les mêmes lois physiques pour y obtenir les même trajectoires ce qui est prévu par la mécanique classique. C’est ce qui se traduit dans les équation par la covariance de Lorentz et la loi d’addition de vitesse lorsqu’on change de référentiel galiléen. Une quantité est dite covariante de Lorentz lorsque ses composantes forment une représentation du groupe de Lorentz. On retombe sur les Groupes mais on est début 1900.

Dans le système solaire, la Mécanique classique (newtonienne) est en accord avec pratiquement tous les phénomènes couramment observables et en particulier pour le mouvement des planètes.

 Dans les changements de repères galiléens la Force de Newton est invariante, son équation fait appel à une dérivée seconde ou variation seconde par rapport au temps de sa position qui est l’accélération en m/sec/sec :    

Les résultats des expériences de Michelson et Morley (1887) développés dans le texte « La vitesse de la Lumière » montrent bien qu’à la fin du XIXème siècle la théorie des ondes électromagnétiques, et donc le la lumière, met en difficulté le principe de l’invariance galiléenne qui est un principe fondamental de cette mécanique classique. Ce principe énonce que les résultats de toute expérience (mécanique ou électromagnétique) réalisé dans un référentiel devraient être indépendants de tout.

La théorie des ondes électromagnétiques développée à cette époque par

Maxwell fait apparaître un opérateur   et où  

représente la vitesse   c  de propagation des ondes dans le vide qui est complètement invariant, ne dépendant ni de la position x,y,z  ni du temps t.
Lors de l’établissement des équations de propagation de l’onde électromagnétique, on ne se préoccupe pas de définir de référentiel de validité des calculs puisqu’elle en sont indépendantes. Mais, la transformation Galiléenne de cet opérateur change sa forme et ca ne devrait pas être.

Les équations de propagations de l’électromagnétisme (plus généralement les équations de Maxwell mort en 1879) ne sont pas covariantes comme elles devraient l’être dans la transformation de Galilée.

La c’est très complexe et on peut tout oublier mais on peut comprendre que le résultat théorique des équations de Maxwell est comme il se doit pour la lumière de trouver une vitesse  c  constante indépendante du référentiel.

Les postulats de la Relativité (Einstein 1905)

Einstein va trouver les postulats et les équations nécessaires pour rendre cohérents la théorie de la gravitation et celle de l’électromagnétisme. C’est ce qu’il fait en 1905.

Postulat 1 ou principe de l’invariance galiléenne : les résultats de toute expérience (mécanique ou électromagnétique) conduite à l’intérieur d’un référentiel sont indépendants de tout mouvement de translation rectiligne uniforme de ce référentiel par rapport à un référentiel galiléen.
(On rappelle qu’un référentiel est galiléen si le mouvement d’un objet ponctuel isolé est rectiligne, uniforme et que les référentiels galiléens sont en translation rectiligne, uniforme les uns par rapport aux autres).
Suivant ce postulat, les lois de la Physique sont covariantes (se traduisent par des relations ayant même structure, même expression) dans un changement de référentiel galiléen et la transformation de changement de référentiel galiléen est unique pour la Physique.
Compte tenu des résultats de l’expérience de Michelson et Morley, on doit renoncer à la transformation de Galilée telle qu’elle se présentait.

Postulat 2 : la vitesse de propagation de l’onde électromagnétique dans le vide est invariante vis à vis d’un changement de référentiel galiléen, elle est toujours  égale à  c .

Postulat 3 : le succès de la Mécanique classique appliquée à des corps macroscopiques animés de faibles vitesses, succès qui se concrétise dans le domaine astronomique par une précision extraordinaire, montre que les lois de la Mécanique Classique et la transformation de Galilée doivent être valables, en première approximation, lorsque la vitesse  v  reste faible devant  c     soit     v << c.

Postulat 4 : la masse  m, et la charge  q  d’une particule sont propres à celle-ci c’est à dire invariantes par changement de référentiel galiléen.

Relativité du Temps :

Conséquences :

Le postulat 1, en généralisant la notion d’invariance galiléenne, impose un cadre commun aux théories de la Mécanique et à celles de l’Electromagnétisme.

Le postulat 2, fondamentalement nouveau, a une conséquence d’une portée considérable :

L’abandon de l’hypothèse de temps absolu.

(comme on le montre ci dessous)

Un wagon A’B’ de milieu O’ fixe dans son référentiel galiléen (R’) mais animé d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel du sol (R) et du point O.  Aux extrémités du wagon A’ et B’ sont placés des expérimentateurs munis de flashs. En O’ et au point O du référentiel (R) se trouvent des observateurs.

Lorsque les points O et O’ coïncident au passage en O, les deux observateurs en O et O’ voient les expérimentateurs activer leur flash en même temps. Ils reçoivent en même temps les lumières deux flashs partis  de A’ et de B’. On veut retrouver quand les flashs ont été effectivement activés en A' et B' pour cela.

Demandons nous, en adoptant le point de vue de chaque observateur, qui de l’expérimentateur placé en A’ ou de celui en B’ a produit son flash le premier.

La vitesse de la lumière est la même  c  dans chacun des référentiels   R’  et  R.

Pour l’observateur du wagon placé en O’ milieu de A’B’, la réponse est claire, les expérimentateurs en A’ et B’ ont allumé leurs flashs en même temps.

Pour l’observateur extérieur placé en O, compte tenu des temps de translation à la vitesse  v  du wagon vers la droite, A’ était en A , au moment du flash et plus éloigné de O que B’. Donc A’ doit donc allumer son flash en avance sur B’ pour compenser cette distance plus grande.

Les deux évènements (allumer le flash) simultané dans (R’) ne l’est pas dans (R).

C’est une évidence qu'on ne peut pas attribuer dans tous les référentiels galiléens les mêmes dates aux mêmes évènements si la vitesse de la lumière est une constante. On doit associer nécessairement la position d’un point à son instant donné dans le repaire utilisé.

Le point est relaté par sa position ( x , y, z ) et son temps t.  On lui associe alors un événement

A ( x, y, z, t ) à quatre coordonnées dans quatre dimensions.

L’exemple ci-dessus montre la nécessité d’abandonner l’hypothèse du temps absolu.

Certains trouveront ce raisonnement simple presque évident et pourtant il ne s'imposera pas tout de suite et à cause de ce qu’il induit on doit parler de révolution dans le monde des idées directrices de la Physique et de compréhension des phénomènes Physiques.

Avant d’établir les équations de la transformation des coordonnées entre deux repères galiléens de manière à retrouver les résultats de la mécanique relativiste on peut recalculer directement et de manière simple la valeur des temps séparant deux événements simultanés ayant lieux dans deux repères galiléens.

Pour cela on revient sur l’expérience particulière où le repère mobile (R’)  d’origine O’ et d’axes O’ X’,Y’,Z’ qui coïncide avec le repère fixe (R) d’origine O et d’axes  O X, Y, Z  à l’origine des temps t = 0 glisse à vitesse  v  constante le long de OX. Ce repère (R’) à un mouvement de translation uniforme à une vitesse  v  constante le long l’axe OX sur lequel glisse O’X’ et donc le plan O’X’Z’ glisse aussi sur le plan OXZ comme on le voit sur la figure suivante.

A l’instant  t  A’ est sur l’axe Z’ , en arrière, et O’ s’est déplacé de v.t dans  (R). A l’instant 2t ce point sera en A’’.  Tout au long de  A’A’’ est disposé un miroir dans  R  qui réfléchira les rayons lumineux se propageant dans le plan  OXZ  et donc aussi de O’X’Z’ qui se superpose.

Le temps n’est plus absolu mais relatif et dépend du repère utilisé. On dispose de deux horloges identiques situées à l’origine des repères en O pour t  et en O’ pour t’. Ces deux horloges sont des sources de lumière de même pulsation  w  qui sont synchronisées lorsque les repères coïncident à l’instant initial  t =  t’ = 0  où  O’ est en O.

Quand O’ s’est déplacé jusqu’en B on y récupère les deux signaux émis des deux horloges, de O dans R  par le trajet Orange, et de O’ coïncidant au départ avec O, se réfléchissant suivant Z’en A’, et récupéré en B par le trajet jaune qui se translate parallèlement à OX .

Le premier trajet Orange est beaucoup plus grand que le second en jaune. La longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle O O’A’ de la figure est ct, celle de la hauteur O’A’ est ct ' et celle de la base OO’ est vt dans le référentiel « fixe ». On a donc théorème de Pythagore : 

    c²t²  =  v².t²  +  c²t’²    -->     c²t² v².t² = c²t’² 

                                            -->     ( 1  -  v²/c²).t²  =   t’²

       -->       t    =    g t’     avec      g  = (1  -  v²/c²) ^{- 1/2}

Sur la figure, l’observateur dans le repère fixe voit l’horloge O’ mobile ralentir et compter plus lentement, presque deux fois moins vite, sur ce graphe  ou  v ~ 3/4.c  est proche de la vitesse de la lumière.

Il y a dilatation du temps dans le repère en mouvement.

Il y a contraction des longueurs dans le sens du mouvement   et conservation des longueurs dans des directions perpendiculaires au mouvement. La longueur OA’ se projette en OO’ sur OX et donc se contracte dans la direction du mouvement.

Au début de la relativité, ce phénomène a donné lieu à un certain nombre d’objections (paradoxe des jumeaux dont l’un voyage et pas l’autre et qui revient plus jeune que l’autre).

Aujourd’hui, la situation est très différente puisque, grâce à l’étude de la désintégration des muons produits dans la haute atmosphère ou au comportement des particules dans les accélérateurs, la dilatation du temps est devenu un phénomène directement observé.

La célérité de la lumière étant de 300 000 km/s, un avion volant à 0,3 km/s (soit 1000 km/h) a une vitesse égale au millionième de celle de la lumière de sorte que l'erreur commise en utilisant l'approximation galiléenne est inférieure à 10^-12 (le millionième de millionième), tout à fait négligeable. Cependant pour des mesures très précises de temps de trajets utilisées dans les expériences spatiales et actuellement  par le GPS , il faut impérativement tenir compte des corrections relativistes (d’ailleurs à la fois celles de la relativité restreinte et de la relativité générale).

Equations de la Relativité restreinte :

On établit cette théorie par les équations générales de changement de référentiels galiléens maintenant constante la vitesse de la lumière.

La théorie de la Relativité restreinte se limite aux seuls référentiels galiléens, excluant les effets d’accélération des référentiels. En fait, on doit exclure en Relativité restreinte l’interaction gravitationnelle qui entre dans le cadre de la Relativité générale.

(R) et (R’) sont deux référentiels galiléens, les directions Ox et O’x’ coïncident et glissent l’une sur l’autre à vitesse constante  n . O’ se retrouve donc en  x = n.t  à l’instant  t. On règle les horloges de chaque référentiel de telle sorte que, pour  t = t’ = 0 , les origines O et O’ soient confondues. Le problème posé est celui de la correspondance d’un même événement dans les deux référentiels. Illustrons le propos sur le cas de la propagation d’ une onde électromagnétique de pulsation  w issue des origines  O  et  O’  au temps  t  =  t’  = 0  qui sert d’horloge. 
Dans le référentiel (R) OA, au temps t, par le trajet orange l'onde issue de O atteint le point de coordonnées A( x, y, z, t ).

Ce même événement se traduit, dans le référentiel (R’) O’A, par le trajet en jaune  l'onde issue de O' atteint le point de cooronnées   A( x’, y’ ,z’, t’ ) dans (R’) à l’instant  t’ car les distances ne sont pas les mêmes.
Dans chacun des deux référentiels, l’onde se propage à vitesse c et nous pouvons écrire que le carré de la longueur de chaque vecteur  r  et  r’ se mesure par la longueur du trajet  ct  et c’t’ au carré. 

(Le carré de la distance à l'origine est la somme des carrés

des coordonentre deux événements considérés :

      (1)    c²t² - x² - y² - z²   =    c²t’² - x’² - y’² - z’²   =   0

Cet intervalle est un invariant relativiste : sa valeur ne dépend pas du référentiel galiléen dans lequel on l'évalue.

La linéarité des équations du mouvement d’une particule libre dans un référentiel galiléen et la linéarité des équations de la transformation de Galilée qui doivent être vérifiées si la vitesse du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R) reste faible devant la vitesse c nous incitent à chercher une solution linéaire au problème du passage du référentiel (R’) au référentiel (R). Pour l’homogénéité des formules on fait intervenir t  par la grandeur  ct  qui est une distance (comme x, y et z) parcourue par la lumière à la vitesse  c  pendant le temps  t.

La linéarité des équations du mouvement d’une particule libre dans un référentiel galiléen et la linéarité des équations de la transformation de Galilée qui doivent être vérifiées si la vitesse du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R) reste faible devant la vitesse c nous incitent à chercher une solution linéaire au problème du passage du référentiel (R’) au référentiel (R).

Pour l’homogénéité des formules on fait intervenir t  par la grandeur  ct  qui est une distance (comme x, y et z) parcourue par la lumière à la vitesse  c  pendant le temps  t.

En mécanique classique galiléenne on écrit les équations de transformation d’une translation sous la forme suivante :

                       x  =  x’ + v.t’  -->   x’  =  x – v.t

                       t   =            t’           t’  =           t

Pour tenir compte des modification de la mécanique relativiste nous chercherons les relations linéaires qui transformeront l’espace vectoriel (R) en celui en translation uniforme (R’) sous la forme générale suivante pour la translation  v  car on suppose à  l’origine des temps  t =t’=0  que les origines  O et O’  coïncident 

x = x’= 0.

      (1)                              x’  =  a(x  –  v.t)

                                         t’  =  a( t  –  b.x)

                                         y’  =      y

                                         z’  =      z

Condensé sous forme de Tableau de coefficients cela donne :

t’   =     at  – abx                         t’        a  –ab                      t  

x’  = – avt +  ax                 -->    x’    – av    a                      x

y’  =                   + 1y                  y’                     1                y

z’  =                           + 1z           z ’                            1        z

Ces 4 équations peuvent s’écrire sous une forme de tableaux résumant les coefficients des équations ce qui est visuellement plus claire. Le Tableau de 4 lignes et 4 colonnes ne contient que les coefficients reliant les coordonnées de la colonne dans (R) à celle la colonne dans (R’).

On introduit ainsi les éléments d’une nouvelle écriture algébrique ce sont les Matrices M d’un espace à 4 dimensions. X  les 4 coordonnées dans ( R) et  X’ celles dans ( R’) sont reliées par la relation linéaire qui s’écrit alors très simplement :

   (2)                                                X'  =  M . X

L’invariant de la mécanique relativiste est l’intervalle d’espace-temps tel que :

       x² + y² + z² – c²t²  =     x’² +y’² +z’² – c²t’²   =    0

En y remplaçant algébriquement les valeurs de x' y' z' et t' de (1)

on obtient les expressions suivantes:

x² + y² + z² – c²t² =  a²(x – vt)² + y² +z² – c²a²( t  –  bx)² 

x²+y²+z²–c²t²=a²(x²–2vxt+v²t²)+y²+z²–c²a²( t²–2btx + b²x²)

(a² - c²a²b² -1)x² – 2(a²v – ba²c²)xt + (a²v ² - c²a² + c²)t²  =  0

pour que cette égalité reste toujours valable il faut que ses 3 coefficients soient nuls :

 (1)     (a² – c²a²b²)      =   1    -->  ba²c²/v(1–bv) = 1      

 (2)     (a²v – ba²c²)      =   0    -->  a²  =  ba²c²/v

 (3)    (a²v ²– c²a² – c²) =  0    -->  ba²v  – a² – 1  = 0 

                                                           a²( 1 – bv )  = 1

On tire  a²  de  (2)  que l’on remplace dans  (1)   et  (3)   On divise alors ces deux égalités

                              b   =   v /c²

                              a   =   1 / ( 1 –  v ²/c²) ^{1/ 2}    =     g 

                              a   =     a

Avec   b   =   v /c     et           g  = (1  -  v²/c²) ^-1/2

On retrouve le coéficient de dilatation du temps  g  de la mécanique relativiste.

On écrit ces équations :   t’   =      gt   –gbx

                                       x’  =  – gbt + gx

                                       y’  =                     +1y

                                       z’   =                             +1z

Sous forme Matricielle on introduit  le temps  t  comme 4 ème dimension et pour qu’elle corresponde bien aussi à une distance comme pour x , y et z on l’utilisera sous la forme  c.t multipliée par la constante  c  universelle pour utiliser aussi une quatrième longueur. 

                                     X’  =  M . X   ce qui est bien pratique. 

Et dans l’autre sens :     X   =  M^-1. X’



X   et  X’       sont des colonnes de dimensions 4 qui sont les 4 coordonnées.

M et M^-1  sont la matrice et son inverse de la transformation linéaire complexe dans un espace de dimension 4.  

Les formules de transformation de  X’  à  X  et  de   X  à  X’  correspondent à des changements de coordonnées dans deux sens opposés. Elles sont les même à un changement de signe prés du terme en  b  qui  comprend :   

  b  =  v/c           et on rappelle que :    g = (1  -  v²/c²) ^-1/2

 Le but de cette transformée est en effet de faire en sorte que la vitesse de la lumière soit la même dans tous les référentiels. Cette constance de la vitesse de la lumière fait partie des leçons principales de la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell qui était en contradiction directe avec la mécanique newtonienne. Lorentz a donc cherché à voir s'il était possible de définir de nouvelles formules pour le changement de coordonnées entre référentiels galiléens qui permettrait de maintenir la forme des équations de Maxwell et donc en particulier la vitesse de la lumière. Néanmoins, l'histoire c'est que même s'il a identifié correctement la forme mathématique de ces nouveaux changements de référentiel, il n'en a pas tiré les conséquences physiques et en particulier au niveau de la mécanique et il a fallu Einstein pour cela.

Conclusions :

Cet article est un retour à la théorie telle qu’on la développe et qu’on l’enseigne généralement avec un formalisme scientifique actuel complexe et rigoureux.

On voit bien que les calculs algébriques en sont relativement simples et du niveau du baccalauréat même si les concepts vont bien au delà. Cela doit nous permettre de nous convaincre plus facilement de la validité de ces résultats qui sont démontrés algébriquement.

Finalement, si Einstein arrive à établir ceci dans ses conditions d’âge, de solitude, de formation, de travail, c’est que ce n’est pas si difficile. C’est même plutôt simple mais ça demande une certaine liberté d’esprit, de conception et surtout d’intelligence qui n’est ni courante, ni quelconque.  C’est sa jeunesse et son parcourt hors des structures accadémiques normales et surtout son génie libertaire qui, peut être lui ont permis, plus que tout autre, cette créativité exeptionnelle en 1905 dans des domaines si variés.

En effet, c’est par la variété des résultats et sa vision globale qu’il nous étonne et nous convainct.

Le premier article, publié en mars 1905, expose un point de vue révolutionnaire sur la nature corpusculaire de la lumière pour lequel il reçoit le prix Nobel de physique de 1921 sur l'effet photoélectrique. 

Deux mois plus tard, en mai, Einstein fait publier un deuxième article sur le mouvement brownien. Il explique ce mouvement par une entorse complète au principe d’entropie tel qu’énoncé à la suite des travaux de Newton sur les forces mécaniques. Cet article fournit une preuve théorique  de l’existence des atomes et des molécules (vérifiée expérimentalement par Jean Perrin en 1912).

Le troisième article est plus important, car il représente la rupture intuitive d’Einstein avec la physique newtonienne est l’introduction de la mécanique relativiste.

Le quatrième article qui porte sur  E=m.c²  est encore plus révolutionaire. Mais toute sa portée ne se manifestera que plus tard.

Cette foison d’articles en 1905 dans différents domaines et tous importants nous montre qu’il était mûr à 26 ans pour cette production à lui tout seul, dans son coin.