Phy8   Conclusions sur la Relativité.

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   La Theorie De La Relativite          28mn 

Exposé sur l’ensemble des travaux d’Einstein.

Il est absolument possible qu’au delà de ce que perçoivent

 nos sens se cachent des mondes insoupçonnés.  (Einstein)

Au début du XXème siècle apparaissent des transformations qui tiennent compte des résultats  expérimentaux surprenants de l’invariance de la vitesse de la lumière.

Lorentz en 1904 à établi les équations des transformations qui portent son nom à partir des ondes électromagnétiques et de l’invariance des équations de Maxwell , donc en particulier de la vitesse de la lumière, sans en comprendre la portée Physique.

En 1905, Henri Poincaré pose les équations des transformations de Lorentz, et les présente à l'Académie des sciences de Paris le 5 juin 1905. Ces transformations vérifient l'invariance de Lorentz, achevant le travail d'Hendrik Antoon Lorentz lui-même (Lorentz était un correspondant de Poincaré). Ces transformations sont celles qui s'appliquent en relativité restreinte, et on emploie encore aujourd'hui les équations telles que les a écrites Poincaré. Mais pour expliquer l'origine physique de ces transformations, Poincaré a recours a des contractions physiques de l'espace et du temps, conservant en références un éther et un temps absolu. C'est Einstein qui s'emploie à montrer qu'on retrouve les mêmes transformations en partant simplement du principe de relativité, éliminant les notions de référentiels ou horloge absolu, et faisant des différences de longueur des effets de la perspective dans un espace-temps en quatre dimensions, et non des contractions réelles.

C'est Einstein en 1905 qui a partir de ses propres études a tiré toutes les conséquences physiques de ses résultats qui développe la nouvelle mécanique relativiste.

Le troisième article d'Einstein en 1905, intitulé "L'électrodynamique des corps en mouvement", est reçu par la revue le 30 juin. Il définit les premières bases de ce qui deviendra la théorie de la relativité restreinte. C’est ce que l’on a vu avec les transformation du Temps  t  et de l’espace  x .

C'est dans le quatrième article (de quatre pages) de cette année 1905, "L'inertie d'un corps dépend-elle de son contenu en énergie ?", que pour la première fois apparaît la formule E=mc², ce jour du 27 septembre 1905. Cette formule met en relation la masse (m) et l'énergie (E), exprimant le lien fort qui lie les deux entités. C’est ce que l’on va développer ici avec une introduction  de la dynamique relativiste.

De tout ce qui précède il faut retenir essentiellement ce qui suit :

On a établi algébriquement les relations de transformation générale des coordonnées de l’espace et du temps lors de changements de repères galilens où la vitesse de la lumière  c  se conserve et le temps comme les longueurs se dilatent  et se contractent avec un coéfficient  de dilatation  relativiste  g = (1 - v²/c²)^-1/2                tel que :  

                           (1)                   Dt’     =      g.Dt                         

                           (2)                   Dx’    =      g.Dx

La relativité restreinte est une refonte totale de notre notion de l'espace et du temps : il n'existe ni de temps ni d'espace absolu. La taille d'un objet et le temps entre deux événements dépendent complètement du référentiel dans lequel on se place, et ne sont que des mesures locales. L'origine de cela est la constance absolue de la vitesse de la lumière dans tous les repères. C'est le principe qui est à l'origine de toute la relativité restreinte. En effet, la seule explication possible à ce phénomène est que les instruments de mesures, que les unités de temps et de longueur se déforment, que l’on a affaire à un espace de dimension 4 pour que finalement la mesure de la vitesse de la lumière donne toujours le même résultat numérique (~300.000 km/s).

Cependant, il existe des grandeurs qui pour tout corps se conservent, indépendamment du changement de repère. On appelle cela un invariant relativiste. Supposons qu'un corps, dans un référentiel inertiel se déplace de dx, dy, dz dans l'espace et de dt dans le temps alors l’intervalle d’espace-temps L se conserve:

                     (3)                   L = dx² + dy² + dz² - c²dt²

L est constant dans tous les repères. C'est une espèce de théorème de Pythagore généralisé à 4 dimensions. Ceux versés dans la théorie de la mesure, reconnaîtront là une norme.

Pour un photon, qui bien sûr se déplace exactement à la vitesse de la lumière cette quantité est nulle comme on l’a déjà vu.

Tout cela n’est que la conséquence de l’invariance de la vitesse de la lumière dans des transformations de repères dit galiléens.

Mais la mécanique s’occupe essentiellement du mouvement des corps et donc de leurs mouvements sous l’action des forces. Pour cela il nous faut retrouver le principe de la fondamental de la dynamique qui lui même devrait être un invariant.

Le principe fondamental de la dynamique : 

La modification de la notion d'espace et du temps a des conséquences profondes également sur la dynamique et les mouvements. Il faut reformuler le principe de la dynamique.  

Le principe fondamental établit par Newton est que la Force est le produit de la masse par l’accélération  a  c’est à dire la dérivée seconde de la position  que l’on mesure par des variations D de positions :

                  Somme des Forces = masse . accélération

Or, l’accélération mesure la variation dans la temps de la vitesse (et la vitesse mesure la variation de la position  (Dx/Dt)  dans le temps). C’est donc la variation par rapport au temps /Dt de la variation par rapport au temps de la position (Dx/Dt)   soit  (Dx/Dt)/Dt  qui se mesure alors en  mètre par seconde par seconde. C’est donc la division d’une longueur par un temps par un temps et dans le changement de repère ceci devient avec (1) et (2):

                 (4)   m.a  =  m. (Dx/Dt)/Dt   =   m.g. (Dx’/Dt’)/Dt’

Ces deux expressions dans (R) fixe et dans (R’) mobile se ressemblent au facteur g près. Tout se passe comme si en effectuant le changement de repère la masse dans le repère mobile était égale à la masse au repos multipliée par le coéfficient de dilatation  g  relativiste.

Einstein le reformule ainsi :  avec          g  =  (1  -  v²/c²) ^-1/2

   Somme des Forces = masse relativiste (m.g) . accélération (a) 

On retrouve la même expression du principe fondamental de la dynamique en modifiant la valeur de la masse du corps en mouvement qui n’est plus   m    mais  devient  (m.g)  .

Aux faibles vitesses  v << c          g = ~1      on retrouve bien le principe de Newton avec m.  

Par contre aux fortes vitesses       g  >  1      la masse peut croitre et ceci indéfiniment comme g.

Un phénomène étonnant apparaît alors: la masse d’un mobile augmenterait avec sa vitesse pour atteindre l’infini à la vitesse de la lumière  c .  On atteint ainsi une limite au mouvement.

 Ainsi le principe fondamental de la dynamique peut être conservé par une généralisation en  introduisant une Masse relativiste égale à la masse classique du mobile au repos multipliée par le coefficient de dilatation relativiste  g  soit  (m.g) .

              Masse relativiste  =  g.masse au repos   

                                 M  =   g.m  

alors on retrouve (de manière formelle) le principe de la dynamique généralisé. Et ainsi l’expression de la Force dans sa forme est indépendante du repère galiléen utilisé. Elle devient covariante.          

           (5)               Force = Masse.accélération  

Quand  v = 0 -->  g = 1 , la masse du corps est donc alors celle au repos  m .

Par contre, quand  v  augmente,  g aussi croit, la masse relativiste  M  en fait de même (attention, ne confondons pas : la masse au repos du corps ne change pas, c'est la masse observée dans le repère en mouvement qui croit).

Enfin, quand  v  tend vers  c , le facteur  g  diverge vers  + infini, et donc l’effet de masse relativiste aussi.

Cet effet de masse d'un corps que l'on accélère qui diverge quand  v  tend vers  c   implique que pour l’accélérer selon le principe fondamental énoncé par Einstein il faut lui appliquer une force infinie, ce qui n’est pas possible. Sa vitesse est donc limitée à  c .

Energie et Masse :

L’Energie  E  c’est du Travail  W  résultant par exemple d’une Force   F  déplaçant une masse M sur une certaine longueur  r.

En effet, si nous appliquons une Force sur un objet, cette force fournit un travail  dW  lors de son déplacement  dr, et ce travail n'étant rien de plus que la variation d'énergie du système  dE. On a donc algébriquement :
                                   

Calculons (on prendra pour plus de simplicité une force qui déplace son point d'application dans sa propre direction que l’on prendra pour axe des x. Le déplacement  dx = v.dt  et l’accélmération  a = dv/dt  permettent d’écrire)

          dE  =  F.dx  =  m.g.a.dx  =  m.g.(dv/dt).vdt  =  m.g.v.dv

Soit

Ce qui est la dérivée de            E               et il suffit de dériver E

pour le vérifier

           (6)                           donc      E  =  M.c²

En utilisant la Masse relativiste M = m.g

Comment comprendre cette relation ?  Elle montre que toute masse est équivalente à une énergie et inversement. Si on pouvait désintégrer un objet et le transformer en énergie pure, on obtiendrait une quantité d'énergie égale à  mc² . C'est un nombre absolument énorme ! Elle est très utile en fusion nucléaire par exemple : quand on casse un noyau d'atome, la masse des constituants séparés du noyau est inférieure à celle du noyau lui-même. Cette différence de masse est convertie en énergie selon la relation  E= mc² , c'est cette énergie que l'on récupère pour faire de l'électricité dans les centrales atomiques, ou plus tristement, dans les bombes nucléaires.

On avait aucune idée de tout cela en 1905 et dans cette dernière publication de seulement quatre pages.  

Enfin, l'énergie cinétique d'un corps n'est plus ½m.v²  mais (g -1)mv².  

Pour des vitesses faibles, on retombe bien sur le célèbre ½m.v². On voit donc que l'énergie totale d'un corps (énergie cinétique plus énergie de masse) est g.m.c².  

Pour  v  faible, l'énergie du corps est  ~mc², c'est à dire que son énergie cinétique est beaucoup plus faible que son énergie de masse, en général négligeable dans la vie de tous les jours. Par contre quand  v  augmente, g augmente également, et l'énergie cinétique du corps devient comparable, voire beaucoup plus grande que son énergie de masse. C'est là un autre moyen de mesurer l'importance des effets relativistes sur un corps :  

Quand son énergie de masse est beaucoup plus grande que son énergie cinétique, la physique de Newton est valable (en première approximation). Quand l'énergie cinétique est comparable, voire supérieure à l'énergie de masse, alors il faut utiliser la relativité restreinte.  

Représentation d’une Trajectoire relativiste:

En relativité restreinte on suit des événements dans un espace à 4 dimensions, trois d'espace x,y,z et une de temps t, et par conséquent il est impossible dans le cas le plus général de visualiser la courbe représentant la succession d'événements traduisant le déplacement de la particule à la fois dans le temps et dans l'espace.

Cette courbe de la trajectoire d'un point ou d'une particule en 4 dimensions est appelée ligne d'univers de la particule.

Pour lever la difficulté de la représentation de 4 dimensions on se limite souvent à 2 dimensions, une d'espace x et une de temps t. Autrement dit on considère des mouvements seulement le long de l'axe des x, les coordonnées y et z restant inchangées. Ne restent alors que les deux variables x et t , lesquelles permettent de tracer dans un repère cartésien à deux dimensions, donc dans un plan la trajectoire d'une particule dans l'espace-temps : c'est sa ligne d'univers comme ci dessous.

Les deux figures à gauche ci-dessus illustrent le passage du point de vue newtonien au point de vue relativiste. Les trajectoires rectilignes sont représentées par des flèches A,B,C, et des lignes d’univers OA, OB, OC. Tandis que A reste au même point, B se déplace d'une certaine quantité, C va plus vite et va plus loin, D encore plus loin tandis que E se déplace dans l'autre sens.

Dans le diagramme spatio-temporel la succession des événements constituent le mouvement de la particule. Puisque la vitesse v des particules est constante, leur abscisse x est évidemment x = v t  proportionnelle au temps de sorte que leur ligne d'univers est une droite. La pente qui mesure la vitesse de celle-ci est proportionnelle à la vitesse v.

La chose remarquable est que la ligne d'univers de la particule au repos n'est plus un seul point mais le segment de droite OA vertical. En effet, si la particule ne bouge pas (x = constante) le temps lui continue à s'écouler sans déplacement.

Dans le cas général, a vitesse variable,  c'est une courbe quelconque qui traduira le mouvement d'une particule.

À titre d'exemple considérons la ligne d'univers ci-dessus à droite représentant un mobile partant de l'abscisse x = 0 et y revenant un temps t plus tard, temps mesuré disons sur Terre. Il pourra s'agir d'une fusée effectuant un voyage aller-retour intersidéral et nous continuerons à raisonner sur cet exemple.

Le segment de droite entre « départ » et « arrivée » le long de l'axe temporel représente la ligne d'univers de la Terre, dont la coordonnée spatiale, égale à 0, ne varie pas.

La ligne courbe représente la suite d'événements constituant le voyage de la fusée. La coordonnée curviligne permettant de repérer un point sur cette courbe est le temps propre de la fusée, celui que mesure l'horloge embarquée.

Les formules relativistes montrent que le temps propre le long du trajet curviligne est plus court que le temps propre le long du trajet rectiligne (ici le temps propre t est gradué sur la ligne d’univers de 0 à 12 alors que le temps terrestre t s’étale de  0 à 14 sur l’axe des temps vertical ).

En conclusion:

La relativité restreinte modifie complètement la théorie de la mécanique construite par Newton : Elle transforme fondamentalement la notion d'espace et de temps, et reformule le principe de la dynamique.

On arrive à ces résultats avec un niveau mathématique peu élevé, disons du secondaire, mais les connaissances ainsi acquises sont essentielles et fondamentales.

On y découvre qu’il existe des vérités absolues. Que tout n’est pas relatif  et que la logique est une science qui n’a rien de naturel en ce sens que la réalité est plus complexe que l’évidence.   

Cependant, cette théorie est dite restreinte, c'est à dire qu'elle ne concerne que les repères inertiels. Elle ne peut pas traiter de la physique dans les repères accélérés.  

C'est en voulant généraliser sa théorie à tous types de repères qu'Einstein invente la Relativité Générale, et plus qu'une théorie de la mécanique dans tous les repères, il y inclut complètement la gravitation et lui fait jouer un rôle central. Ainsi, la théorie de la relativité Générale est avant tout une théorie de la Gravitation.